4. 선형 연립 방정식의 해

n개의 변수를 갖는 m개의 방정식으로 이루어진 것 => 선형 연립방정식

제차 연립방정식은 위 사진을 기준으로 하면, b가 싹 다 0인 것.

비제차 연립방정식은 m개의 b 중 하나라도 0이 아니면 됨.

 

1. 비제차 선형 연립 방정식 

 1) 역행렬 이용

 2) 크래머 공식

 3) 가우스-조단 소거법

 

2. 제차 선형 연립 일차방정식의 해

 1) 제차 연립 방정식의 그래프 : 선형 연립 방정식의 그래프는 두 직선을 나탬, 그리고 두 직선은 무조건 원점을 지나는 직                                                     선이다 (즉, y절편 = 0)

 

 2) 제차 연립 방ㅈㅇ식의 해

1) ab - bc =/= 0 : 오직 하나 해 (자명한 해)

2) ab - bc = 0 : 무수히 많은 해 (부정) , 자명한 해 이외의 해를 갖는다.

 

3. 행렬의 계수 (rank)

1) 행렬의 계수 정의  : m x n 행렬 A의 1차 독립인 행벡터(열벡터)의 최대의 개수를 A의 계수(rank)라 함.

- 참고 : 일차 독립, 일차 종속

만약 벡터 공간 V의 부분집합 S에 대해 Ax = 0을 만족하는 유한개의 벡터 v1​,v2​,v3​,...vn​∈V와 적어도 하나가 아닌 0이 아닌 스칼라 a1​,a2​,a3​,...,an​이 존재하면, 집합 S는 일차종속이며, S의 벡터 또한 일차종속이다.

임의의 벡터 u1​,u2​,...,un​에 대해 a1​=a2​=a3​=...=0이면, a1​u1​+a2​u2​+...+an​un​=0이다. 이를 u1​,...,un​의 일차결합에 대한 영벡터의 자명한 표현이라 한다.

다시말해, 어떤 집합이 일차 종속이라면 해당 집합에 속하는 벡터들을 이용해 영벡터를 자명하지 않은 표현으로 표현할 수 있다.

벡터 공간의 부분집합 S가 일차종속이 아니라면 일차독립이다

- rank 구하는 방법 : A를 기본 행 연산을 적용하여 사다리꼴 행렬을 만들었을 때 원소 중 적어도 하나가 0이 아닌 행의 개수가 rankA이다.

- rank 값의 특징 : m x n 행렬에서 행렬의 계수 (rank)는 행과 열 중에 작은 숫자보다 같거나 작다.

 

2) 행렬의 계수의 성질

 

4. 선형 연립 방정식의 해의 존재 유무

 1) 선형 연립 방정식의 계수 행렬의 이용한 정보 : m은 방정식의 개수, n은 미지수의 개수

<첨가행렬>

​mn개의 수를 m개의 행과 n개의 열로

배열한 것을 m×n 행렬(matrix)이라 한다.​

행렬의 구조를 이용하여

연립일차방정식을 표현한다고 생각하자.

​

​

이 연립일차방정식의 계수와 상수항으로 된 행렬은

​

 

이 행렬을 연립일차방정식의 첨가행렬(augmented matrix)이라 한다.

m×n 연립일차방정식의 첨가행렬은 m×(n+1) 행렬이다.

위 첨가행렬에서 마지막 열을 삭제한

다음 행렬을 계수행렬(coefficient matrix)이라 한다.

 

2) 선형 연립 방정식의 해의 기하학적 의미

- 비제차 연립 방정식에서

  => 해가 오직 하나 존재 (한 점에서 만남), 해가 무수히 많이 존재 (일치), 해가 존재하지 않음 (평행)

 

3) 선형 연립 방정식의 해의 존재 유무 판단

- 해가 오직 하나 존재하는 경우

- 해가 무수히 많이 존재하는 경우 (부정)

- 해가 존재 하지 않는 경우 (불능)

 

5. 최소 제곱의 해 : 해는 존재 하지 않지만 해가 있다고 치고 ^x=(ATA)−1ATb을 이용하여 구한 해 ^x를 최소 제곱의 해라 함

 

6. 행사다리꼴 및 기약사다리꼴

1) 행사다리꼴

2) 기약 행 사다리꼴

 

7. LU-분해